自动控制原理 - 04 - 线性控制系统的根轨迹分析与校正

时域法提供了一种简单直观的方式分析线性系统闭环传递函数的零、极点对系统性能产生的影响。但是，对于高阶系统，即使用拉普拉斯变换将系统微分方程变换为 的高阶代数方程，在没有现代计算机方法的情况下求解依然十分困难，并且难以求得系统参数（如开环增益 $K$）变化对系统带来的影响。

1948年，美国工程师 Walter R. Evans 提出了根轨迹法，通过在改变系统参数时绘制出 $s$ 平面上系统闭环特征方程的根的移动轨迹，可以方便地获知在参数变化时系统稳定性与动态性能指标，并选择合适的参数。相比时域法，根轨迹法计算量小、使用简单，在控制工程中获得了广泛的应用。

根轨迹的基本概念

根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益 $K^\ast$）从零变化到无穷大时，闭环特征方程的根在 $s$ 平面上移动的轨迹。 根轨迹增益 $K^\ast$ 是首 $1$ 形式开环传递函数对应的系数。

以下图所示的一个系统为例：

这是一个单位反馈系统，其开环传递函数 $G(s) = \dfrac{K}{s (0.5s + 1)} = \dfrac{K^\ast}{s (s + 2)} = \dfrac{M(s)}{N(s)} \ ,$ 根轨迹增益 $K^\ast = 2 K \ .$

这个系统的闭环特征方程为

$$D(s) = M(s) + N(s) = s^2 + 2s + K^\ast \ ,$$

解得特征根

$$\lambda_{1, 2} = -1 \pm \sqrt{1 - K^\ast} \ .$$

现在我们绘制一个 $s$ 平面，并考虑改变 $K$ 时，$\lambda_1, \lambda_2$ 会如何分布在 $s$ 平面上。由于我们研究的是一个物理可实现的系统，故 $K$ 的值应当从 $0$ 开始。

• 当 $0 < K < 0.5$ 时，$1 - K > 0 \ ,$ 此时 $\lambda_1, \lambda_2$ 都为实数，并且分别从 $\lambda_1 = 0$ 与 $\lambda_2 = -1$ 点开始向 $(-0.5, \mathrm{j} 0)$ 点汇聚；

• 当 $K = 0.5$ 时， $\lambda_1, \lambda_2$ 在 $(-0.5, \mathrm{j} 0)$ 点处重叠；

• 当 $K > 0.5$ 时， $1 - K < 0 \ ,$ 此时 $\lambda_1, \lambda_2$ 开始具有虚部，进入 $s$ 平面上；由于此时实部 $-1$ 不再改变， $K$ 只影响虚部，故 $\lambda_1, \lambda_2$ 会在 $\mathrm{Re}(s) = -1$ 直线上随着 $K$ 的增大相背而行，直至 $-1 \pm \mathrm{j} \infty \ .$

根据上面的讨论，我们可以绘制出系统的根轨迹图如下。

根轨迹与系统性能

在上一篇文章 自动控制原理 - 03 - 线性控制系统的时域分析 中，我们详细讨论了系统闭环特征根对性能的影响，尤其是二阶系统在无阻尼振荡频率 $\omega_\mathrm{n}$ 与阻尼比 $\zeta$ 改变时的性能变化；当以极坐标表示时，$\omega_\mathrm{n}$ 控制极点的模长，$\zeta$ 控制极点的相角（以负实轴顺时针计）。下面我们将以刚刚的系统为例讨论开环增益 $K$ 取不同值时，对应系统特征根在 $s$ 平面上的移动会如何影响系统性能。

稳定性

回顾上篇文章的 线性系统的稳定性分析 一节：

先给出结论：对于从系统特征方程 $D(s) = 0$ 解得的特征根，无论是实根还是共轭复根，所有特征根都具有负的实部是系统稳定的充分必要条件。

换句话说，稳定系统的所有闭环特征根都应当在 $s$ 平面虚轴左侧。观察上面的系统不难发现当 $K > 0$ 时，其所有闭环特征根构成的轨迹都在 $s$ 平面左半边，故系统总是稳定的。

对于其他类型的系统，根轨迹有时不会局限于 $s$ 平面左半边，而是以复杂轨迹越过虚轴进入虚轴右侧。此时在相应 $K$ 值下系统存在具有正实部的闭环特征根，从而是不稳定的；而当闭环特征根恰好在虚轴上时，系统处于临界稳定状态，以二阶系统为例就是阻尼比 $\zeta = 0$ 时系统具有两个纯虚特征根，其时域响应呈等幅振荡状态。

稳态性能

由上图可知系统在坐标原点处存在一开环极点，系统属于 $\mathrm{I}$ 型系统，开环增益 $K$ 等于静态速度误差系数 $K_\mathrm{v} \ .$

• 当 $r(t) = 1(t)$ 时，$e_\mathrm{ss} = 0 \ ;$

• 当 $r(t) = A t$ 时，$e_\mathrm{ss} = \dfrac{A}{K} = \dfrac{2A}{K^\ast} \ .$

动态性能

对于刚刚举例的二阶系统，其根轨迹上根的位置对系统动态性能的影响完全满足我们之前在 二阶系统的时域分析 讨论过的内容：

• 当 $0 < K < 0.5$ 时，闭环特征根为实根，系统呈现过阻尼状态，阶跃响应为单调上升过程；

• 当 $K = 0.5$ 时，闭环特征根为二重实根，系统呈现临界阻尼状态，阶跃响应仍为单调过程，但响应速度较 $0 < K < 0.5$ 时为快；

• 当 $K > 0.5$ 时，闭环特征根为一对共轭复根，系统呈现欠阻尼状态，阶跃响应为振荡衰减过程，且随 $K$ 增加，阻尼比减小，超调量增大，但 $t_s$ 基本不变¹。

由以上讨论我们可以看出，根轨迹与系统性能之间有着密切的联系，利用根轨迹可以分析当系统参数（如 $K$ 或 $K^\ast$）增大时系统动态性能的变化趋势。

闭环零极点与开环零极点的关系

考虑下图(a)所示的典型系统。

假设其有 $m$ 个开环零点、$n$ 个开环极点，则

$$ G(s) = \frac{K_\mathrm{G}^\ast \displaystyle \prod_{i=1}^{f} (s - z_i)}{\displaystyle \prod_{i=1}^{g} (s - p_i)}, \qquad H(s) = \frac{K_\mathrm{H}^\ast \displaystyle \prod_{j=f+1}^{m} (s - z_j)}{\displaystyle \prod_{j=g+1}^{g} (s - p_j)} $$

注意看各个 $\prod$ 的上限：$G(s)$ 中有 $f$ 个开环零点与 $g$ 个开环极点，相应地 $H(s)$ 中有 $m-f$ 个开环零点与 $n-g$ 个开环极点。于是此系统的开环传递函数

$$ G(s)H(s) = \frac{K^\ast \displaystyle \prod_{i=1}^{f} (s - z_i) \displaystyle \prod_{j=f+1}^{m} (s - z_j)}{\displaystyle \prod_{i=1}^{g} (s - p_i) \displaystyle \prod_{j=g+1}^{g} (s - p_j)} = \frac{K^\ast \displaystyle \prod_{i=1}^{m} (s - z_i)}{\displaystyle \prod_{j=1}^{n} (s - p_j)} \ , $$

式中 $K^\ast = K_\mathrm{G}^\ast K_\mathrm{H}^\ast$ 为系统的根轨迹增益，$z_i$ 表示开环零点，$p_j$ 表示开环极点。系统闭环传递函数为

$$ \varPhi(s) = \frac{1}{1 + G(s) H(s)} = \frac{K^\ast \displaystyle \prod_{i=1}^{f} (s - z_i) \displaystyle \prod_{j=g+1}^{g} (s - p_j)}{\displaystyle \prod_{j=1}^{n} (s - p_j) + K^\ast \displaystyle \prod_{i=1}^{m} (s - z_i)} $$

从上式可知：

• 闭环零点由前向通路传递函数 $G(s)$ 的零点和反馈通路传递函数 $H(s)$ 的极点组成。 对于单位反馈系统 $H(s) = 1 \ ,$ 闭环零点就是开环零点。闭环零点不随 $K^\ast$ 变化，不必专门讨论之。

• 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 $K^\ast$ 均有关。 闭环极点随 $K^\ast$ 而变化，所以研究闭环极点随 $K^\ast$ 的变化规律是必要的。