自动控制原理 - 03 - 线性控制系统的时域分析

从本篇文章开始我们将正式进入控制系统的分析与校正。从时域上对控制系统进行分析符合人类直觉，比起根轨迹法和频域法更有“看得见、摸得着”的感觉；但时域法在对系统参数进行调整以使性能指标朝我们希望的方向进行改变，即系统校正上有所欠缺。即使如此，我们在学习时域法时会接触到许多基本的概念、方法和结论，对后续的控制理论学习都有很大帮助。

时域法常用的典型输入信号与性能指标

典型输入信号

在时域分析中，我们一般会用到这些典型输入信号：

• 单位脉冲函数 $\delta(t)$：得到的响应即为系统的闭环传递函数。

• 单位阶跃函数 $1(t)$：又称为位置输入，是工程上最常用的输入信号。由于单位阶跃输入容易实现、对系统稳定能力的要求比较高，故后续的时域分析多以单位阶跃为输入信号展开研究。

• 单位斜坡函数 $t$：又称为速度输入。

性能指标

这部分内容来自卢京潮《自动控制原理》第三章 线性系统的时域分析与校正 3.1.3 系统的常用时域性能指标。

动态性能指标

上表是以典型欠阻尼二阶系统的阶跃响应为基础绘制的。当衡量系统的动态性能时，我们一般使用这些指标：

• 上升 (raise) 时间 $t_r$: 阶跃响应从终值的 $10 \char37$ 上升到终值的 $90 \char37$ 所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。

• 峰值 (peak) 时间 $t_p$: 阶跃响应越过终值 $h(\infin)$ 达到第一个峰值所需的时间。

• 调节 (settling) 时间 $t_s$: 阶跃响应到达并保持在终值$h(\infin) \pm 5 \char37$ 误差带内所需的最短时间；有时也用终值的 $\pm 2 \char37$ 误差带来定义调节时间。在卢老师的课程中，一般均以终值的 $\pm 5 \char37$ 误差带定义调节时间。

• 超调 (overshoot) 量 $\sigma \char37$: 峰值 $h(t_p)$ 超出终值 $h(\infin)$ 的百分比，即

$$\sigma \char37 = \frac{h(t_p) - h(\infin)}{h(\infin)} \times 100 \char37$$

• 延迟 (delay) 时间 $t_d$: 阶跃响应第一次达到终值 $h(\infin)$ 的 $50 \char37$ 所需的时间。

在上述动态性能指标中，工程上最常用的是调节时间 $t_s$（反映过渡过程的长短，描述 “快”），超调量$\sigma \char37$（反映过渡过程的波动程度，描述“匀”）以及峰值时间 $t_p$.

稳态性能指标

当我们考虑系统的稳态性能时，实际上我们研究的是系统在达到稳态的情况下，其输出与我们所期望的输出之差值，称为系统的稳态误差。用更精确的语言进行表述：稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。

应当指出，系统性能指标的确定应根据实际情况而有所侧重。例如，民航客机要求飞行平稳，不允许有超调；歼击机则要求机动灵活，响应迅速，允许有适当的超调；对于一些启动之后便需要长期运行的生产过程（如化工过程等）则往往更强调稳态精度。

一阶系统的时域分析

一阶系统的时域分析相对比较简单。我们可以从系统的典型结构图出发进行分析：

系统的传递函数为

$$\mathit{\large \Phi (s)} = \frac{K}{s + K} = \frac{1}{Ts+1}\ ,$$

可以解得系统特征根¹ $\lambda = -\frac{1}{T} \ .$

上式中 $T=\frac{1}{K}$ 称为一阶系统的时间常数，zaifen