之前主要复习了控制系统的一般概念，数学模型与拉普拉斯变换。本篇主要讲系统传递函数，从元部件微分方程到典型环节，以及使用梅逊增益公式计算系统输入/输出端口之间的闭环传递函数。

传递函数

在上一篇文章自动控制原理 - 01 - 一般概念，数学模型与拉普拉斯变换的用拉普拉斯变换解微分方程小节最后，我们稍微提到了传递函数的定义：

传递函数是在零初始条件下，线性时不变系统输出量的拉普拉斯变换和输入量的拉普拉斯变换之比。

现在让我们详细展开这个部分。

线性时不变系统的微分方程一般可写为

$$a_n \frac{\mathrm{d}^{n} c(t)}{\mathrm{d} t^{n}} + a_{n - 1} \frac{\mathrm{d}^{n - 1} c(t)}{\mathrm{d} t^{n - 1}} + … + a_1 \frac{\mathrm{d}^ c(t)}{\mathrm{d} t} + a_0 c(t) = b_n \frac{\mathrm{d}^{n} r(t)}{\mathrm{d} t^{n}} + b_{n - 1} \frac{\mathrm{d}^{n - 1} r(t)}{\mathrm{d} t^{n - 1}} + … + b_1 \frac{\mathrm{d}^ r(t)}{\mathrm{d} t} + b_0 r(t) \ ,$$

式中$c(t)$为输出量，$r(t)$为输入量，$a_n, a_{n - 1}$及均为由系统结构、参数决定的常系数。

对这个方程使用拉普拉斯变换，可以得到

$$a_n s^n C(s) + a_{n - 1} s^{n - 1} C(s) + … + a_1 s C(s) + a_0 = b_m s^m R(s) + b_{m - 1} s^{m - 1} R(s) + … + b_1 s R(s) + b_0 \ ,$$

按代数方法合并同类项，并按定义即可写出系统传递函数的表达式

$$G(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{b_m s^m + b_{m - 1} s^{m - 1} + … + b_1 s + b_0}{a_n s^n + a_{n - 1} s^{n - 1} + … + a_1 s + a_0} \ .$$

传递函数的性质

这部分内容可以在教材P29 2.3.1 传递函数小节找到。

  • 传递函数是复变量$s$的有理分式函数，其具有复变函数的所有性质。
  • 因为实际物理系统总是存在惯性，并且动力源功率有限，所以实际系统传递函数的分子阶次$m$总是小于或等于分母阶次$n$，即$m \leq n$。
  • 传递函数只取决于系统或元部件自身的结构和参数，与外作用的形式和大小无关。
  • 传递函数与微分方程有直接联系。复变量$s$相当于时域中的微分算子。
  • 传递函数的拉普拉斯反变换即为系统的脉冲响应（即系统在单位脉冲信号$\delta(t)$激励下产生的输出）。

传递函数的局限性

  • 传递函数是在零初始条件下定义的，因此它只能反映系统在零状态下的动态特性，不能反映非零初始条件下系统的全部运动规律。
  • 传递函数通常只适合于描述单输入-单输出系统。
  • 传递函数是由拉普拉斯变换定义的，拉普拉斯变换是一种线性变换，因此传递函数只适用于线性时不变系统（回忆一下傅里叶变换的特性，时域上的乘积等于频域上的卷积；当我们尝试对时变系统微分方程做拉普拉斯变换时将不得不处理对$a_k (t) x^{(k)} (t)$做变换的问题）。